线性代数的本质 —— 行列式的本质和意义

计算的目的不在于数字本身,而在于洞察其背后的意义。对于行列式也是一样,行列式的背后的意义是什么呢? 之前学习了线性变换,以及用矩阵对线性变换进行数值化的描述。先说结论:线性变换改变的比例被称为这个变换的行列式。看看这条结论是如何得出的?以及行列式的计算方法几何直观推导。

行列式的本质 —— 线性变换的缩放比例

比如下面的矩阵所代表的线性变换将原本 $\vec {i}$ 、 $\vec {j}$ 所形成的矩阵面积扩大了 6 倍:

无论方格如何变化,对于其他的方格来说都会有同样的变化,因为线性变换的基本原则就是网格线保持平行且等距分布。对于不是方格的情况,可以用很多方格近似,就和微积分一样的思想。

如果一个行列式(特指二阶行列式)的值为 0.5,则意味着矩阵所代表的线性变换将原本 $\vec {i}$ 、 $\vec {j}$ 所形成的矩阵面积缩小了一半,比如 $\left [\begin {matrix} 0.5&0.5 \\ -0.5 &0.5\end {matrix} \right]$ 这样的矩阵,做行列式计算的话值就是 0.5,面积压缩一半。

当行列式的值为零时

如果行列式的值为零,则说明线性变换将整个平面压缩到了一条线上,甚至是一个点上:

所以如果我们一旦得知一个矩阵的行列式值为 0,就等于知道了这个矩阵所表示的线性变换是否会将空间压缩到更低的维度,一条线上,甚至是一个点上。

当行列式的值为负数时

把二维空间想象成一张纸,某些线性变换看起来就像是纸张被翻转到了另一面一样,类似的线性变换改变了空间的定向。或者从 $\vec {i}$ 、 $\vec {j}$ 的方式来考虑,开始 $\vec {i}$ 在 $\vec {j}$ 的左边,如果线性变换后 $\vec {i}$ 在 $\vec {j}$ 的右边,则改变了空间的定向:

那么为什么通常认为负的缩放比例会用来描述空间的定向改变呢?可以看到 $\vec {i}$ 逐渐接近 $\vec {j}$ 带来的一系列改变, 当

$\vec {i}$ 靠近 $\vec {j}$ 时,空间也被压缩得更加严重,这意味着行列式无限趋近于 0,当 $\vec {i}$ 与 $\vec {j}$ 重合的时候,行列式值为 0,如果 $\vec {i}$ 继续往左偏移,行列式继续减小为负值,看起来是一件非常自然且合理的事情:

三维空间的情况

对于三阶行列式来说,表示的则时体积的缩放。我们只需要关注 $\vec {i}$ 、 $\vec {j}$ 、 $\vec {k}$ 形成的单位立方体在经历过线性变换之后的情况就可以了。这个时候如果行列式的值为 0,也就意味着这个矩阵所表示的线性变换是否会将空间压缩到一个面,甚至是一条线上,甚至是一个点上。

另外,如果一个矩阵的行列式为 0,那么矩阵的列(也就是向量)必定线性相关!还记得线性相关的概念吗?

通俗的解释:第三个向量恰好落在前两个向量张成的平面上的情况,还有两个向量共线的情况,都是其中至少有一组向量是多余的,即不会对张成的空间做出任何贡献,去掉其中一个向量也不会减少张成的空间,那么就认为这组向量是线性相关的,否则就是线性无关的

所以矩阵的行列式为 0,意味着此线性变换降低了张成的空间维度,所以此矩阵里面的向量必定是线性相关的。

那么对于三维空间来说,当行列式的值为负数时又表示什么呢?其实还是改变了空间的定向,只不过这个时候判断空间定向是否被改变可以用右手定则来判断,如果左手成立的话那么就意味着空间的定向发生了改变:

行列式计算方法推导

这是一个 2×2 矩阵的行列式计算方式 $\operatorname {det}\left (\left [\begin {array}{ll}
a & b \\
c & d
\end {array}\right]\right)=a d-b c$,来看看为什么这么做?

加入 b、c 恰好为 0,那么 a 就是 x 轴方向缩放的比例,那么 d 就是 y 轴方向缩放的比例,$a \times d$ 正好就是相对于单元正方形的缩放比例:

如果就算 b 或者 c 只有其中一个为 0,得到的最终结果是一个平行四边形,面积还是 $a\times d$:

那么如果 b、c 均不为 0 呢?那么 b、c 项就会告诉你平行四边形在对角方向上拉伸了或者压缩了多少,下面这张图可以帮助我们理解为什么是 $a\times d - b\times c $:

行列式总结

行列式的几何意义:矩阵所对应的线性变换改变面积(体积)的比例。

当矩阵行列式为 0,说明它将原空间线性变换后压缩为一条线或一个点(二维情况下),即使原空间维度降低。这也解释了为何矩阵列向量线性相关时,经过它的线性变换后,原空间发生维度衰减。它的行列式为 0。

当行列式为负数,表示矩阵的线性变换将原空间的定向发生了改变,如平面翻转。更为直观的就是变换后坐标轴的相对位置发生了变换。(三维空间下,一般情况下建系是符合右手定则的,若线性变换后,任然满足右手定则,则行列式一定为正,若不能满足右手定则,即变成了左手定则,则称空间发生了定向改变,行列式为负)。但行列式的绝对值任然表示面积的缩放比例。