全概率公式与贝叶斯公式

一、条件概率公式

举个例子，比如让你背对着一个人，让你猜猜背后这个人是女孩的概率是多少？直接猜测，肯定是只有５０％的概率，假如现在告诉你背后这个人是个长头发，那么女的概率就变为９０％。所以条件概率的意义就是，当给定条件发生变化后，会导致事件发生的可能性发生变化。

条件概率由文氏图出发，比较容易理解：

P(A|B)表示B发生后A发生的概率，由上图可以看出B发生后，A再发生的概率就是P(AnB)/P(B)，因此P(A|B)=P(AnB)/P(B)，由P(A|B)=P(AnB)/P(B)又可以得到P(AnB) = P(A|B)*P(B)，则可以得到P(AnB) = P(B|A)*P(A) ，由此可得：P(A|B) = P(AnB)/P(B) = P(B|A) * P(A)/P(B)这就是条件概率公式。

假如事件A与B相互独立，那么:

P(AnB) = P(A)*P(B) 相互独立：表示两个事件发生互不影响。而互斥：表示两个事件不能同时发生，（两个事件肯定没有交集）。互斥事件一定不独立（因为一件事的发生导致了另一件事不能发生）；独立事件一定不互斥，（如果独立事件互斥， 那么根据互斥事件一定不独立，那么就矛盾了），但是在概率形式上具有一些巧合性，一般地：但是，对于两个独立事件，P(A|B)依然可以等于0，因为事件A或者事件B发生的概率可能为0.所以P(AB) = 0，并不是一定表示互斥。互斥和独立的理解还是要究其真正意义，而不是表达形式。

二、全概率公式

先举个例子，小张从家到公司上班总共有三条路可以直达（如下图），但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：

P(L1) = 0.5 、P(L2) = 0.3、P(L3) = 0.2

每天上述三条路不拥堵的概率分别为：

P(C1) = 0.3、P(C2) = 0.4、P(C3) = 0.7

假设遇到拥堵会迟到，那么小张从Home到Company不迟到的概率是多少？

其实不迟到就是对应着不拥堵，设事件Ｃ为到公司不迟到，事件Li为选择第i条路，则

P(C) = P(L1) * P(C|L1) + P(L2) * P(C|L2) + P(L3) * P(C|L3)
P(C) = P(L1) * P(C1) + P(L2) * P(C2) + P(L3) * P(C3)
P(C) = 0.5 * 0.2 + 0.3 * 0.4 + 0.2 * 0.7 = 0.36

全概率就是表示达到某个目的，有多种方式（或者造成某种结果，有多种原因），问达到目的的概率是多少（造成这种结果的概率是多少）？

全概率公式： 设事件L1、L2…是一个完备事件组，则对于任意一个事件Ｃ，若有如下公式成立：

P(C) = P(L1)P(C1|L1)….P(Ln)P(Cn|Ln) = ∑P(Li)P(C|Li)

这就是全概率公式

三、贝叶斯公式

仍旧借用上述的例子，但是问题发生了改变，问题修改为：到达公司未迟到选择第１条路的概率是多少？

可不是P(L1) = 0.5 ，因为０．５这个概率表示的是，选择第一条路的时候并没有靠考虑是不是迟到，只是因为距离公司近才知道选择它的概率，而现在我们是知道未迟到这个结果，是在这个基础上问你选择第一条路的概率，所以并不是直接就可以得出的。

故有：

P(L1|C) = P(C|L1) * P(L1) / P(C)
P(L1|C) = P(C|L1) * P(L1) / P(L1)* P(C|L1) +P(L2)* P(C|L2) + P(L3)* P(C|L3)
P(L1|C) = 0.2 * 0.5 / 0.2 * 0.5 + 0.3 * 0.4 + 0.2 * 0.7 = 0.28

所以选择第一条路的概率为0.28

贝叶斯公式就是当已知结果，问导致这个结果的第i原因的可能性是多少？执果索因！

贝叶斯公式：

在已知条件概率和全概率的基础上，贝叶斯公式是很容易推导的：

P(Lk|C) = P(C|Lk)/P(C)于是我们推得出：

P(Lk|C) = P(C|Lk)/∑P(Li) * P(C|Li)

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• 本文作者： Tim
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