关于圆的面积是 πr² 的绝佳证明

证明的过程非常简单,那就是如何通过积分的思想来证明圆的面积公式。不过与其这样表达倒不如说是通过圆的面积公式来体会体会积分的思想。首先把整个圆看成是无数个同心圆环组成的图形,只要把每个圆环的面积相加,就会得到最终的面积。

如下图所示:每个圆环展开后近似看作为矩形,只要圆环切割的足够细,计算结果就越准确,为了体现微积分标准符号的思想,圆环的厚度先定义为 $dr$,那么圆环的面积就近似于 $2 \pi R dr$ ,$dr$ 越小近似就越准

然后把这些类矩形从低到高排列起来,这些矩形的高其实就是每一个圆环的周长,都分布在 $y= 2 \pi r$ 的函数上面,最高(或者说最大周长为)$2 \pi R $,只要 $dr$ 足够小,这些矩形加起来的面积正好就是下面这个三角形的面积,所有 $dr$ 加起来也就是圆形的半径 r,所以这个三角形的面积就是圆的面积:

三角形底边长度:$r$

三角形高度:$2\pi r$

三角形面积:$r * 2 \pi r /2 = \pi r^2$

是不是很容易就证明了圆的面积是 $\pi r^2$ 呢?

这只是圆形面积采用积分的方法得出的证明,因为恰好所有的类矩形的高度都落在了 $2\pi r$ 的函数上面,积分范围只是从 $0 - r$,圆的面积就是那个三角形的面积,甚至于我们可以看成是一个巧合,那么对于其他函数如何求出那条函数曲线下的面积呢?比如 $y = x^2 $ 的函数曲线: